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CorQCM12-utf8.tex 8.2KB

123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327
  1. \documentclass[8pt,a4paper]{article}
  2. \usepackage{amsmath,amssymb}
  3. \usepackage{ifthen}
  4. \usepackage[frenchb]{babel}
  5. \usepackage [latin1]{inputenc}
  6. \usepackage [T1]{fontenc}
  7. \usepackage{fancybox}
  8. \usepackage{pstcol,pst-text}
  9. \usepackage{fancyhdr}
  10. \frenchspacing
  11. \def\baselinestretch{1.1}
  12. \hoffset=-1.5cm \textwidth=16cm \parindent=0pt
  13. \newcommand{\creerlentete}[6]{%
  14. %#1\hfill \today \\ %etablissement et date
  15. #1\hfill \\ %etablissement et date
  16. #2\\[0.5cm] %cursus
  17. \centerline{\bfseries #5}\\[0.4cm] % intitule
  18. Dur\'ee : #3\\
  19. Documents et calculatrices %autorisés ou non
  20. \ifthenelse{\equal {#4}{oui}}{}{non} autoris\'es \vspace{0.5cm}
  21. \hrule
  22. %Les conseils
  23. \ifthenelse{\not \equal {#6}{}} {\vspace{0.2cm} \emph{#6}
  24. \vspace{0.2cm} \hrule}{} \vspace{0.2cm} }
  25. \newcounter{NumeroExo}
  26. \newcommand{\exo}
  27. { \stepcounter{NumeroExo} \arabic{NumeroExo} }
  28. \newcommand{\repqcm}[4]
  29. {
  30. \begin{flushright}
  31. \begin{tabular}{| c | c |}
  32. \hline #1 & \quad \quad \\ \hline #2 & \quad \\ \hline #3 & \quad
  33. \\ \hline #4 & \quad \\ \hline
  34. \end{tabular}
  35. \end{flushright}
  36. }
  37. \newcounter{numQuestion}[section]
  38. \newenvironment{question}{
  39. \begin{tabular}{l |p{13cm}}
  40. {\it Question \stepcounter{numQuestion} \arabic{section} .
  41. \arabic{numQuestion}} & } {\end{tabular} \\}
  42. \setlength\parindent{0pt}
  43. \font\sevenrm=cmbx7 \font\tenmsb=msbm10 at 11pt
  44. \font\sevenmsb=msbm7 at 8pt \font\fivemsb=msbm5 at 6pt
  45. \newfam\msbfam
  46. \textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb
  47. \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
  48. \def\Bbb#1{{\tenmsb\fam\msbfam#1}}
  49. \def\RR{\Bbb R}
  50. \def\CC{\Bbb C}
  51. \def\BB{\Bbb B}
  52. \def\NN{\Bbb N}
  53. \def\QQ{\Bbb Q}
  54. \def\ZZ{\Bbb Z}
  55. \def\PP{\Bbb P}
  56. \def\EE{\Bbb E}
  57. \def\KK{\Bbb K}
  58. \def\TT{\Bbb T}
  59. \def\GG{\Bbb G}
  60. \def\SS{\Bbb S}
  61. %
  62. %
  63. % Lettres Bold Roman
  64. %
  65. \font\elevencmb=cmb10 at 11pt \font\eightcmb=cmb10 at 8pt
  66. \font\sixcmb=cmb10 at 6pt
  67. \newfam\cmbfam
  68. \textfont\cmbfam=\elevencmb \scriptfont\cmbfam=\eightcmb
  69. \scriptscriptfont\cmbfam=\sixcmb
  70. \def\brom#1{{\elevencmb\fam\cmbfam#1}}
  71. %
  72. %
  73. % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
  74. %
  75. % 2) Lettres gothiques:
  76. \font\teneuf=eufm10 at 12pt \font\seveneuf=eufm7 at 8pt
  77. \font\fiveeuf=eufm5 at 6pt
  78. \newfam\euffam
  79. \textfont\euffam=\teneuf \scriptfont\euffam=\seveneuf
  80. \scriptscriptfont\euffam=\fiveeuf
  81. \def\goth#1{{\teneuf\fam\euffam#1}}
  82. %
  83. \newfont{\secgoth}{eufm10 at 16pt}
  84. % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
  85. %
  86. % 3) Lettres rondes (script):
  87. \font\tenrsf=rsfs10 at 11 pt \font\sevenrsf=rsfs7 at 8 pt
  88. \font\fiversf=rsfs5 at 6pt
  89. \newfam\rsffam
  90. \textfont\rsffam=\tenrsf \scriptfont\rsffam=\sevenrsf
  91. \scriptscriptfont\rsffam=\fiversf
  92. \def\rond#1{{\tenrsf\fam\rsffam#1}}
  93. %
  94. \def\ical#1{\!\scriptscriptstyle \cal#1}
  95. \def\irond#1{\!\scriptscriptstyle \rond#1}
  96. % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
  97. % 5) "Signes etranges mais bien utiles"; voir le tableau de iftimo:
  98. %
  99. \font\tenmsa=msam10 at 11pt \font\sevenmsa=msam8
  100. \font\fivemsa=msam6
  101. \newfam\msafam
  102. \textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa
  103. \scriptscriptfont\msafam=\fivemsa
  104. \def\extra#1{{\tenmsa\fam\msafam#1}}
  105. \def\di{\displaystyle}
  106. \def\dd{\mbox{d}}
  107. \renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
  108. \begin{document}
  109. \pagestyle{fancy} \lhead{{\bf Mathématiques}\\ {Corrigé du QCM N°12}}
  110. \rhead{{\small S4 15/16}\\ {\sc Epita}}
  111. \begin{center}
  112. {\Huge {\bf {Corrigé du QCM N°12}}} \\
  113. \bigskip \large{lundi 15 février 2016}
  114. \end{center}
  115. $I$ désigne un intervalle de $\RR$. Toutes les fonctions sont, sauf indication contraire, définies sur $I$.
  116. \medskip
  117. \section*{Question 11}
  118. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions dérivables sur $[a,b]$, convergeant simplement vers $f$ sur $[a,b]$ où $(a,b) \in \RR^2$ avec $a < b$. Alors
  119. \medskip
  120. \begin{enumerate}
  121. \item [a.] $f$ est continue sur $[a,b]$
  122. \medskip
  123. \item [b.] $\di \int_ a^b f_n(t)\dd t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \di \int_a^b f(t)\dd t$
  124. \medskip
  125. \item [c.] pour tout $x \in [a,b]$, $f'_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f'(x)$
  126. \medskip
  127. \item [\pscirclebox{d.}] rien de ce qui précède
  128. \end{enumerate}
  129. \section*{Question 12}
  130. Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$
  131. par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+nx}\cdot$ Alors
  132. \medskip
  133. \begin{enumerate}
  134. \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  135. $]0,1]$
  136. \medskip
  137. \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$
  138. \medskip
  139. \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$
  140. \medskip
  141. \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac1x$ sur $]0,1]$
  142. \medskip
  143. \item [e.] rien de ce qui précède
  144. \end{enumerate}
  145. \section*{Question 13}
  146. Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$
  147. par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+x}\cdot$ Alors
  148. \medskip
  149. \begin{enumerate}
  150. \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  151. $]0,1]$
  152. \medskip
  153. \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$
  154. \medskip
  155. \item [c.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$
  156. \medskip
  157. \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto e^x$ sur $]0,1]$
  158. \medskip
  159. \item [\pscirclebox{e.}] rien de ce qui précède
  160. \end{enumerate}
  161. \section*{Question 14}
  162. Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \RR$ par $f_n(x)=x^n$. Alors
  163. \medskip
  164. \begin{enumerate}
  165. \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  166. $[0,1]$.
  167. \medskip
  168. \item [\pscirclebox{b.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  169. $[0,1[$.
  170. \medskip
  171. \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  172. $]0,1[$.
  173. \medskip
  174. \item [\pscirclebox{d.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  175. $[0,a]$ où $a \in \, ]0,1[$
  176. \medskip
  177. \item [e.] rien de ce qui précède
  178. \end{enumerate}
  179. \section*{Question 15}
  180. Soit $A=[0,1[$. Alors $\text{Sup}(A)=1$.
  181. \medskip
  182. \begin{enumerate}
  183. \item [\pscirclebox{a.}] vrai
  184. \item [b.] faux
  185. \end{enumerate}
  186. \section*{Question 16}
  187. Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sev de $E$. Alors
  188. \medskip
  189. \begin{enumerate}
  190. \item [a.] $E=F \oplus F^{\bot}$
  191. \medskip
  192. \item [b.] $F=F^{\bot\bot}$
  193. \medskip
  194. \item [\pscirclebox{c.}] rien de ce qui précède
  195. \end{enumerate}
  196. \section*{Question 17}
  197. Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $(e_1,...,e_n)$ une base
  198. orthonormée quelconque de $E$ et $x \in E$ quelconque. Alors
  199. \medskip
  200. \begin{enumerate}
  201. \item [a.] $x=\di \sum_{i=1}^n (<x,e_i>)^2 e_i$
  202. \medskip
  203. \item [b.] $x=\di \sum_{i=1}^n (<x-e_i,e_i>)^2 e_i$
  204. \medskip
  205. \item [\pscirclebox{c.}] $x=\di \sum_{i=1}^n <x,e_i> e_i$
  206. \medskip
  207. \item [d.] $x=\di \sum_{i=1}^n <x-e_i,e_i>e_i$
  208. \medskip
  209. \item [e.] rien de ce qui précède
  210. \end{enumerate}
  211. \section*{Question 18}
  212. Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $B=(e_1,\cdots,e_n)$ une base orthogonale de $E$, $x=\di \sum_{i=1}^{n} \lambda _ie_i \in E$ où les $\lambda _i$ sont des scalaires. Alors pour tout $j \in \{1,\cdots,n\}$, on a
  213. \medskip
  214. \begin{enumerate}
  215. \item [a.] $<x,e_j>=\lambda _j$
  216. \medskip
  217. \item [b.] $<x,e_j>=0$
  218. \medskip
  219. \item [\pscirclebox{c.}] $<x,e_j>=\lambda _j <e_j,e_j>$
  220. \medskip
  221. \item [d.] rien de ce qui précède
  222. \end{enumerate}
  223. \section*{Question 19}
  224. Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $A$ une partie quelconque de $E$.
  225. Alors
  226. \medskip
  227. \begin{enumerate}
  228. \item [a.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in E, \ <x,y>=0\}$
  229. \medskip
  230. \item [b.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in A, \ <x,y>=0\}$
  231. \medskip
  232. \item [\pscirclebox{c.}] $A^{\bot}=\{x \in E,\ \forall y \in A, \ <x,y>=0\}$
  233. \medskip
  234. \item [d.] $A \subset A^{\bot}$
  235. \medskip
  236. \item [e.] rien de ce qui précède
  237. \end{enumerate}
  238. \section*{Question 20}
  239. Soient $E$ un $\RR$-ev, $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique et positive sur $E$, $(x,y) \in E^2$ et $t \in \RR$. Alors
  240. \medskip
  241. \begin{enumerate}
  242. \item [\pscirclebox{a.}] $\varphi(x+ty,x+ty) \in \RR_+$
  243. \medskip
  244. \item [\pscirclebox{b.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+2\varphi(x,y)t+\varphi(x,x)$
  245. \medskip
  246. \item [\pscirclebox{c.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+\varphi(x,y)t+\varphi(y,x)t +\varphi(x,x)$
  247. \medskip
  248. \item [d.] rien de ce qui précède
  249. \end{enumerate}
  250. \end{document}