\documentclass[8pt,a4paper]{article} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{ifthen} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage [latin1]{inputenc} \usepackage [T1]{fontenc} \usepackage{fancybox} \usepackage{pstcol,pst-text} \usepackage{fancyhdr} \frenchspacing \def\baselinestretch{1.1} \hoffset=-1.5cm \textwidth=16cm \parindent=0pt \newcommand{\creerlentete}[6]{% %#1\hfill \today \\ %etablissement et date #1\hfill \\ %etablissement et date #2\\[0.5cm] %cursus \centerline{\bfseries #5}\\[0.4cm] % intitule Dur\'ee : #3\\ Documents et calculatrices %autorisés ou non \ifthenelse{\equal {#4}{oui}}{}{non} autoris\'es \vspace{0.5cm} \hrule %Les conseils \ifthenelse{\not \equal {#6}{}} {\vspace{0.2cm} \emph{#6} \vspace{0.2cm} \hrule}{} \vspace{0.2cm} } \newcounter{NumeroExo} \newcommand{\exo} { \stepcounter{NumeroExo} \arabic{NumeroExo} } \newcommand{\repqcm}[4] { \begin{flushright} \begin{tabular}{| c | c |} \hline #1 & \quad \quad \\ \hline #2 & \quad \\ \hline #3 & \quad \\ \hline #4 & \quad \\ \hline \end{tabular} \end{flushright} } \newcounter{numQuestion}[section] \newenvironment{question}{ \begin{tabular}{l |p{13cm}} {\it Question \stepcounter{numQuestion} \arabic{section} . \arabic{numQuestion}} & } {\end{tabular} \\} \setlength\parindent{0pt} \font\sevenrm=cmbx7 \font\tenmsb=msbm10 at 11pt \font\sevenmsb=msbm7 at 8pt \font\fivemsb=msbm5 at 6pt \newfam\msbfam \textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb \def\Bbb#1{{\tenmsb\fam\msbfam#1}} \def\RR{\Bbb R} \def\CC{\Bbb C} \def\BB{\Bbb B} \def\NN{\Bbb N} \def\QQ{\Bbb Q} \def\ZZ{\Bbb Z} \def\PP{\Bbb P} \def\EE{\Bbb E} \def\KK{\Bbb K} \def\TT{\Bbb T} \def\GG{\Bbb G} \def\SS{\Bbb S} % % % Lettres Bold Roman % \font\elevencmb=cmb10 at 11pt \font\eightcmb=cmb10 at 8pt \font\sixcmb=cmb10 at 6pt \newfam\cmbfam \textfont\cmbfam=\elevencmb \scriptfont\cmbfam=\eightcmb \scriptscriptfont\cmbfam=\sixcmb \def\brom#1{{\elevencmb\fam\cmbfam#1}} % % % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ % % 2) Lettres gothiques: \font\teneuf=eufm10 at 12pt \font\seveneuf=eufm7 at 8pt \font\fiveeuf=eufm5 at 6pt \newfam\euffam \textfont\euffam=\teneuf \scriptfont\euffam=\seveneuf \scriptscriptfont\euffam=\fiveeuf \def\goth#1{{\teneuf\fam\euffam#1}} % \newfont{\secgoth}{eufm10 at 16pt} % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ % % 3) Lettres rondes (script): \font\tenrsf=rsfs10 at 11 pt \font\sevenrsf=rsfs7 at 8 pt \font\fiversf=rsfs5 at 6pt \newfam\rsffam \textfont\rsffam=\tenrsf \scriptfont\rsffam=\sevenrsf \scriptscriptfont\rsffam=\fiversf \def\rond#1{{\tenrsf\fam\rsffam#1}} % \def\ical#1{\!\scriptscriptstyle \cal#1} \def\irond#1{\!\scriptscriptstyle \rond#1} % _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ % 5) "Signes etranges mais bien utiles"; voir le tableau de iftimo: % \font\tenmsa=msam10 at 11pt \font\sevenmsa=msam8 \font\fivemsa=msam6 \newfam\msafam \textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa \scriptscriptfont\msafam=\fivemsa \def\extra#1{{\tenmsa\fam\msafam#1}} \def\di{\displaystyle} \def\dd{\mbox{d}} \renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \begin{document} \pagestyle{fancy} \lhead{{\bf Mathématiques}\\ {Corrigé du QCM N°12}} \rhead{{\small S4 15/16}\\ {\sc Epita}} \begin{center} {\Huge {\bf {Corrigé du QCM N°12}}} \\ \bigskip \large{lundi 15 février 2016} \end{center} $I$ désigne un intervalle de $\RR$. Toutes les fonctions sont, sauf indication contraire, définies sur $I$. \medskip \section*{Question 11} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions dérivables sur $[a,b]$, convergeant simplement vers $f$ sur $[a,b]$ où $(a,b) \in \RR^2$ avec $a < b$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $f$ est continue sur $[a,b]$ \medskip \item [b.] $\di \int_ a^b f_n(t)\dd t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \di \int_a^b f(t)\dd t$ \medskip \item [c.] pour tout $x \in [a,b]$, $f'_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f'(x)$ \medskip \item [\pscirclebox{d.}] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 12} Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$ par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+nx}\cdot$ Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $]0,1]$ \medskip \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$ \medskip \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$ \medskip \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac1x$ sur $]0,1]$ \medskip \item [e.] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 13} Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$ par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+x}\cdot$ Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $]0,1]$ \medskip \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$ \medskip \item [c.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$ \medskip \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto e^x$ sur $]0,1]$ \medskip \item [\pscirclebox{e.}] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 14} Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \RR$ par $f_n(x)=x^n$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1]$. \medskip \item [\pscirclebox{b.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,1[$. \medskip \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $]0,1[$. \medskip \item [\pscirclebox{d.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,a]$ où $a \in \, ]0,1[$ \medskip \item [e.] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 15} Soit $A=[0,1[$. Alors $\text{Sup}(A)=1$. \medskip \begin{enumerate} \item [\pscirclebox{a.}] vrai \item [b.] faux \end{enumerate} \section*{Question 16} Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sev de $E$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $E=F \oplus F^{\bot}$ \medskip \item [b.] $F=F^{\bot\bot}$ \medskip \item [\pscirclebox{c.}] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 17} Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée quelconque de $E$ et $x \in E$ quelconque. Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $x=\di \sum_{i=1}^n ()^2 e_i$ \medskip \item [b.] $x=\di \sum_{i=1}^n ()^2 e_i$ \medskip \item [\pscirclebox{c.}] $x=\di \sum_{i=1}^n e_i$ \medskip \item [d.] $x=\di \sum_{i=1}^n e_i$ \medskip \item [e.] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 18} Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $B=(e_1,\cdots,e_n)$ une base orthogonale de $E$, $x=\di \sum_{i=1}^{n} \lambda _ie_i \in E$ où les $\lambda _i$ sont des scalaires. Alors pour tout $j \in \{1,\cdots,n\}$, on a \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $=\lambda _j$ \medskip \item [b.] $=0$ \medskip \item [\pscirclebox{c.}] $=\lambda _j $ \medskip \item [d.] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 19} Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $A$ une partie quelconque de $E$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item [a.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in E, \ =0\}$ \medskip \item [b.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in A, \ =0\}$ \medskip \item [\pscirclebox{c.}] $A^{\bot}=\{x \in E,\ \forall y \in A, \ =0\}$ \medskip \item [d.] $A \subset A^{\bot}$ \medskip \item [e.] rien de ce qui précède \end{enumerate} \section*{Question 20} Soient $E$ un $\RR$-ev, $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique et positive sur $E$, $(x,y) \in E^2$ et $t \in \RR$. Alors \medskip \begin{enumerate} \item [\pscirclebox{a.}] $\varphi(x+ty,x+ty) \in \RR_+$ \medskip \item [\pscirclebox{b.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+2\varphi(x,y)t+\varphi(x,x)$ \medskip \item [\pscirclebox{c.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+\varphi(x,y)t+\varphi(y,x)t +\varphi(x,x)$ \medskip \item [d.] rien de ce qui précède \end{enumerate} \end{document}