|
@@ -0,0 +1,327 @@
|
|
1
|
+\documentclass[8pt,a4paper]{article}
|
|
2
|
+
|
|
3
|
+\usepackage{amsmath,amssymb}
|
|
4
|
+\usepackage{ifthen}
|
|
5
|
+\usepackage[frenchb]{babel}
|
|
6
|
+\usepackage [latin1]{inputenc}
|
|
7
|
+\usepackage [T1]{fontenc}
|
|
8
|
+\usepackage{fancybox}
|
|
9
|
+\usepackage{pstcol,pst-text}
|
|
10
|
+\usepackage{fancyhdr}
|
|
11
|
+\frenchspacing
|
|
12
|
+
|
|
13
|
+
|
|
14
|
+\def\baselinestretch{1.1}
|
|
15
|
+\hoffset=-1.5cm \textwidth=16cm \parindent=0pt
|
|
16
|
+
|
|
17
|
+\newcommand{\creerlentete}[6]{%
|
|
18
|
+%#1\hfill \today \\ %etablissement et date
|
|
19
|
+#1\hfill \\ %etablissement et date
|
|
20
|
+#2\\[0.5cm] %cursus
|
|
21
|
+\centerline{\bfseries #5}\\[0.4cm] % intitule
|
|
22
|
+Dur\'ee : #3\\
|
|
23
|
+Documents et calculatrices %autorisés ou non
|
|
24
|
+\ifthenelse{\equal {#4}{oui}}{}{non} autoris\'es \vspace{0.5cm}
|
|
25
|
+\hrule
|
|
26
|
+%Les conseils
|
|
27
|
+\ifthenelse{\not \equal {#6}{}} {\vspace{0.2cm} \emph{#6}
|
|
28
|
+\vspace{0.2cm} \hrule}{} \vspace{0.2cm} }
|
|
29
|
+\newcounter{NumeroExo}
|
|
30
|
+\newcommand{\exo}
|
|
31
|
+{ \stepcounter{NumeroExo} \arabic{NumeroExo} }
|
|
32
|
+
|
|
33
|
+\newcommand{\repqcm}[4]
|
|
34
|
+{
|
|
35
|
+\begin{flushright}
|
|
36
|
+\begin{tabular}{| c | c |}
|
|
37
|
+\hline #1 & \quad \quad \\ \hline #2 & \quad \\ \hline #3 & \quad
|
|
38
|
+\\ \hline #4 & \quad \\ \hline
|
|
39
|
+\end{tabular}
|
|
40
|
+\end{flushright}
|
|
41
|
+}
|
|
42
|
+
|
|
43
|
+\newcounter{numQuestion}[section]
|
|
44
|
+\newenvironment{question}{
|
|
45
|
+\begin{tabular}{l |p{13cm}}
|
|
46
|
+{\it Question \stepcounter{numQuestion} \arabic{section} .
|
|
47
|
+\arabic{numQuestion}} & } {\end{tabular} \\}
|
|
48
|
+
|
|
49
|
+\setlength\parindent{0pt}
|
|
50
|
+
|
|
51
|
+\font\sevenrm=cmbx7 \font\tenmsb=msbm10 at 11pt
|
|
52
|
+\font\sevenmsb=msbm7 at 8pt \font\fivemsb=msbm5 at 6pt
|
|
53
|
+\newfam\msbfam
|
|
54
|
+\textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb
|
|
55
|
+\scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
|
|
56
|
+\def\Bbb#1{{\tenmsb\fam\msbfam#1}}
|
|
57
|
+\def\RR{\Bbb R}
|
|
58
|
+\def\CC{\Bbb C}
|
|
59
|
+\def\BB{\Bbb B}
|
|
60
|
+\def\NN{\Bbb N}
|
|
61
|
+\def\QQ{\Bbb Q}
|
|
62
|
+\def\ZZ{\Bbb Z}
|
|
63
|
+\def\PP{\Bbb P}
|
|
64
|
+\def\EE{\Bbb E}
|
|
65
|
+\def\KK{\Bbb K}
|
|
66
|
+\def\TT{\Bbb T}
|
|
67
|
+\def\GG{\Bbb G}
|
|
68
|
+\def\SS{\Bbb S}
|
|
69
|
+%
|
|
70
|
+%
|
|
71
|
+% Lettres Bold Roman
|
|
72
|
+%
|
|
73
|
+\font\elevencmb=cmb10 at 11pt \font\eightcmb=cmb10 at 8pt
|
|
74
|
+\font\sixcmb=cmb10 at 6pt
|
|
75
|
+\newfam\cmbfam
|
|
76
|
+\textfont\cmbfam=\elevencmb \scriptfont\cmbfam=\eightcmb
|
|
77
|
+\scriptscriptfont\cmbfam=\sixcmb
|
|
78
|
+\def\brom#1{{\elevencmb\fam\cmbfam#1}}
|
|
79
|
+%
|
|
80
|
+%
|
|
81
|
+% _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|
|
82
|
+%
|
|
83
|
+% 2) Lettres gothiques:
|
|
84
|
+
|
|
85
|
+\font\teneuf=eufm10 at 12pt \font\seveneuf=eufm7 at 8pt
|
|
86
|
+\font\fiveeuf=eufm5 at 6pt
|
|
87
|
+\newfam\euffam
|
|
88
|
+\textfont\euffam=\teneuf \scriptfont\euffam=\seveneuf
|
|
89
|
+\scriptscriptfont\euffam=\fiveeuf
|
|
90
|
+\def\goth#1{{\teneuf\fam\euffam#1}}
|
|
91
|
+%
|
|
92
|
+\newfont{\secgoth}{eufm10 at 16pt}
|
|
93
|
+% _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|
|
94
|
+%
|
|
95
|
+% 3) Lettres rondes (script):
|
|
96
|
+
|
|
97
|
+\font\tenrsf=rsfs10 at 11 pt \font\sevenrsf=rsfs7 at 8 pt
|
|
98
|
+\font\fiversf=rsfs5 at 6pt
|
|
99
|
+\newfam\rsffam
|
|
100
|
+\textfont\rsffam=\tenrsf \scriptfont\rsffam=\sevenrsf
|
|
101
|
+\scriptscriptfont\rsffam=\fiversf
|
|
102
|
+\def\rond#1{{\tenrsf\fam\rsffam#1}}
|
|
103
|
+%
|
|
104
|
+\def\ical#1{\!\scriptscriptstyle \cal#1}
|
|
105
|
+\def\irond#1{\!\scriptscriptstyle \rond#1}
|
|
106
|
+% _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|
|
107
|
+% 5) "Signes etranges mais bien utiles"; voir le tableau de iftimo:
|
|
108
|
+%
|
|
109
|
+\font\tenmsa=msam10 at 11pt \font\sevenmsa=msam8
|
|
110
|
+\font\fivemsa=msam6
|
|
111
|
+\newfam\msafam
|
|
112
|
+\textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa
|
|
113
|
+\scriptscriptfont\msafam=\fivemsa
|
|
114
|
+\def\extra#1{{\tenmsa\fam\msafam#1}}
|
|
115
|
+
|
|
116
|
+\def\di{\displaystyle}
|
|
117
|
+\def\dd{\mbox{d}}
|
|
118
|
+
|
|
119
|
+\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
|
|
120
|
+\begin{document}
|
|
121
|
+\pagestyle{fancy} \lhead{{\bf Mathématiques}\\ {Corrigé du QCM N°12}}
|
|
122
|
+
|
|
123
|
+\rhead{{\small S4 15/16}\\ {\sc Epita}}
|
|
124
|
+
|
|
125
|
+
|
|
126
|
+
|
|
127
|
+\begin{center}
|
|
128
|
+{\Huge {\bf {Corrigé du QCM N°12}}} \\
|
|
129
|
+\bigskip \large{lundi 15 février 2016}
|
|
130
|
+\end{center}
|
|
131
|
+
|
|
132
|
+
|
|
133
|
+
|
|
134
|
+$I$ désigne un intervalle de $\RR$. Toutes les fonctions sont, sauf indication contraire, définies sur $I$.
|
|
135
|
+
|
|
136
|
+\medskip
|
|
137
|
+
|
|
138
|
+\section*{Question 11}
|
|
139
|
+Soit $(f_n)$ une suite de fonctions dérivables sur $[a,b]$, convergeant simplement vers $f$ sur $[a,b]$ où $(a,b) \in \RR^2$ avec $a < b$. Alors
|
|
140
|
+
|
|
141
|
+\medskip
|
|
142
|
+\begin{enumerate}
|
|
143
|
+ \item [a.] $f$ est continue sur $[a,b]$
|
|
144
|
+
|
|
145
|
+ \medskip
|
|
146
|
+ \item [b.] $\di \int_ a^b f_n(t)\dd t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \di \int_a^b f(t)\dd t$
|
|
147
|
+
|
|
148
|
+ \medskip
|
|
149
|
+ \item [c.] pour tout $x \in [a,b]$, $f'_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f'(x)$
|
|
150
|
+
|
|
151
|
+ \medskip
|
|
152
|
+ \item [\pscirclebox{d.}] rien de ce qui précède
|
|
153
|
+\end{enumerate}
|
|
154
|
+
|
|
155
|
+
|
|
156
|
+
|
|
157
|
+
|
|
158
|
+
|
|
159
|
+\section*{Question 12}
|
|
160
|
+Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$
|
|
161
|
+par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+nx}\cdot$ Alors
|
|
162
|
+
|
|
163
|
+\medskip
|
|
164
|
+\begin{enumerate}
|
|
165
|
+ \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
|
|
166
|
+ $]0,1]$
|
|
167
|
+ \medskip
|
|
168
|
+ \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$
|
|
169
|
+ \medskip
|
|
170
|
+ \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$
|
|
171
|
+ \medskip
|
|
172
|
+ \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac1x$ sur $]0,1]$
|
|
173
|
+ \medskip
|
|
174
|
+ \item [e.] rien de ce qui précède
|
|
175
|
+\end{enumerate}
|
|
176
|
+
|
|
177
|
+
|
|
178
|
+
|
|
179
|
+
|
|
180
|
+\section*{Question 13}
|
|
181
|
+Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$
|
|
182
|
+par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+x}\cdot$ Alors
|
|
183
|
+
|
|
184
|
+\medskip
|
|
185
|
+\begin{enumerate}
|
|
186
|
+ \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
|
|
187
|
+ $]0,1]$
|
|
188
|
+ \medskip
|
|
189
|
+ \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$
|
|
190
|
+ \medskip
|
|
191
|
+ \item [c.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$
|
|
192
|
+ \medskip
|
|
193
|
+ \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto e^x$ sur $]0,1]$
|
|
194
|
+ \medskip
|
|
195
|
+ \item [\pscirclebox{e.}] rien de ce qui précède
|
|
196
|
+\end{enumerate}
|
|
197
|
+
|
|
198
|
+
|
|
199
|
+
|
|
200
|
+
|
|
201
|
+\section*{Question 14}
|
|
202
|
+Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \RR$ par $f_n(x)=x^n$. Alors
|
|
203
|
+
|
|
204
|
+\medskip
|
|
205
|
+\begin{enumerate}
|
|
206
|
+ \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
|
|
207
|
+ $[0,1]$.
|
|
208
|
+ \medskip
|
|
209
|
+ \item [\pscirclebox{b.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
|
|
210
|
+ $[0,1[$.
|
|
211
|
+ \medskip
|
|
212
|
+ \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
|
|
213
|
+ $]0,1[$.
|
|
214
|
+ \medskip
|
|
215
|
+ \item [\pscirclebox{d.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
|
|
216
|
+ $[0,a]$ où $a \in \, ]0,1[$
|
|
217
|
+ \medskip
|
|
218
|
+ \item [e.] rien de ce qui précède
|
|
219
|
+\end{enumerate}
|
|
220
|
+
|
|
221
|
+
|
|
222
|
+
|
|
223
|
+
|
|
224
|
+
|
|
225
|
+
|
|
226
|
+\section*{Question 15}
|
|
227
|
+Soit $A=[0,1[$. Alors $\text{Sup}(A)=1$.
|
|
228
|
+
|
|
229
|
+\medskip
|
|
230
|
+\begin{enumerate}
|
|
231
|
+ \item [\pscirclebox{a.}] vrai
|
|
232
|
+ \item [b.] faux
|
|
233
|
+\end{enumerate}
|
|
234
|
+
|
|
235
|
+
|
|
236
|
+
|
|
237
|
+\section*{Question 16}
|
|
238
|
+Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sev de $E$. Alors
|
|
239
|
+
|
|
240
|
+\medskip
|
|
241
|
+\begin{enumerate}
|
|
242
|
+ \item [a.] $E=F \oplus F^{\bot}$
|
|
243
|
+
|
|
244
|
+ \medskip
|
|
245
|
+ \item [b.] $F=F^{\bot\bot}$
|
|
246
|
+
|
|
247
|
+ \medskip
|
|
248
|
+ \item [\pscirclebox{c.}] rien de ce qui précède
|
|
249
|
+\end{enumerate}
|
|
250
|
+
|
|
251
|
+
|
|
252
|
+
|
|
253
|
+\section*{Question 17}
|
|
254
|
+Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $(e_1,...,e_n)$ une base
|
|
255
|
+orthonormée quelconque de $E$ et $x \in E$ quelconque. Alors
|
|
256
|
+
|
|
257
|
+\medskip
|
|
258
|
+\begin{enumerate}
|
|
259
|
+ \item [a.] $x=\di \sum_{i=1}^n (<x,e_i>)^2 e_i$
|
|
260
|
+ \medskip
|
|
261
|
+ \item [b.] $x=\di \sum_{i=1}^n (<x-e_i,e_i>)^2 e_i$
|
|
262
|
+ \medskip
|
|
263
|
+ \item [\pscirclebox{c.}] $x=\di \sum_{i=1}^n <x,e_i> e_i$
|
|
264
|
+ \medskip
|
|
265
|
+ \item [d.] $x=\di \sum_{i=1}^n <x-e_i,e_i>e_i$
|
|
266
|
+ \medskip
|
|
267
|
+ \item [e.] rien de ce qui précède
|
|
268
|
+\end{enumerate}
|
|
269
|
+
|
|
270
|
+
|
|
271
|
+\section*{Question 18}
|
|
272
|
+Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $B=(e_1,\cdots,e_n)$ une base orthogonale de $E$, $x=\di \sum_{i=1}^{n} \lambda _ie_i \in E$ où les $\lambda _i$ sont des scalaires. Alors pour tout $j \in \{1,\cdots,n\}$, on a
|
|
273
|
+
|
|
274
|
+\medskip
|
|
275
|
+\begin{enumerate}
|
|
276
|
+ \item [a.] $<x,e_j>=\lambda _j$
|
|
277
|
+
|
|
278
|
+ \medskip
|
|
279
|
+ \item [b.] $<x,e_j>=0$
|
|
280
|
+
|
|
281
|
+ \medskip
|
|
282
|
+ \item [\pscirclebox{c.}] $<x,e_j>=\lambda _j <e_j,e_j>$
|
|
283
|
+
|
|
284
|
+ \medskip
|
|
285
|
+ \item [d.] rien de ce qui précède
|
|
286
|
+\end{enumerate}
|
|
287
|
+
|
|
288
|
+
|
|
289
|
+
|
|
290
|
+\section*{Question 19}
|
|
291
|
+Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $A$ une partie quelconque de $E$.
|
|
292
|
+Alors
|
|
293
|
+
|
|
294
|
+\medskip
|
|
295
|
+\begin{enumerate}
|
|
296
|
+ \item [a.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in E, \ <x,y>=0\}$
|
|
297
|
+ \medskip
|
|
298
|
+ \item [b.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in A, \ <x,y>=0\}$
|
|
299
|
+ \medskip
|
|
300
|
+ \item [\pscirclebox{c.}] $A^{\bot}=\{x \in E,\ \forall y \in A, \ <x,y>=0\}$
|
|
301
|
+ \medskip
|
|
302
|
+ \item [d.] $A \subset A^{\bot}$
|
|
303
|
+ \medskip
|
|
304
|
+ \item [e.] rien de ce qui précède
|
|
305
|
+\end{enumerate}
|
|
306
|
+
|
|
307
|
+
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308
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+
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309
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+\section*{Question 20}
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310
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+Soient $E$ un $\RR$-ev, $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique et positive sur $E$, $(x,y) \in E^2$ et $t \in \RR$. Alors
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311
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+
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312
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+\medskip
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313
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+\begin{enumerate}
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314
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+ \item [\pscirclebox{a.}] $\varphi(x+ty,x+ty) \in \RR_+$
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315
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+
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316
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+ \medskip
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317
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+ \item [\pscirclebox{b.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+2\varphi(x,y)t+\varphi(x,x)$
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318
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+
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319
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+ \medskip
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320
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+ \item [\pscirclebox{c.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+\varphi(x,y)t+\varphi(y,x)t +\varphi(x,x)$
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321
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+
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322
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+ \medskip
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323
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+ \item [d.] rien de ce qui précède
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324
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+\end{enumerate}
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325
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+
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326
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+
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327
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+\end{document}
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