\documentclass[8pt,a4paper]{article}

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{ifthen}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage [latin1]{inputenc}
\usepackage [T1]{fontenc}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{pstcol,pst-text}
\usepackage{fancyhdr}
\frenchspacing


\def\baselinestretch{1.1}
\hoffset=-1.5cm \textwidth=16cm \parindent=0pt

\newcommand{\creerlentete}[6]{%
%#1\hfill \today \\ %etablissement et date
#1\hfill  \\ %etablissement et date
#2\\[0.5cm] %cursus
\centerline{\bfseries #5}\\[0.4cm] % intitule
Dur\'ee : #3\\
Documents et calculatrices %autorisés ou non
\ifthenelse{\equal {#4}{oui}}{}{non} autoris\'es \vspace{0.5cm}
\hrule
%Les conseils
\ifthenelse{\not \equal {#6}{}} {\vspace{0.2cm} \emph{#6}
\vspace{0.2cm} \hrule}{} \vspace{0.2cm} }
\newcounter{NumeroExo}
\newcommand{\exo}
{ \stepcounter{NumeroExo} \arabic{NumeroExo} }

\newcommand{\repqcm}[4]
{
\begin{flushright}
\begin{tabular}{| c | c |}
\hline #1 & \quad \quad \\ \hline #2 & \quad \\ \hline #3 & \quad
\\ \hline #4 & \quad \\ \hline
\end{tabular}
\end{flushright}
}

\newcounter{numQuestion}[section]
\newenvironment{question}{
\begin{tabular}{l |p{13cm}}
{\it Question \stepcounter{numQuestion} \arabic{section} .
\arabic{numQuestion}} & } {\end{tabular} \\}

\setlength\parindent{0pt}

\font\sevenrm=cmbx7 \font\tenmsb=msbm10 at 11pt
\font\sevenmsb=msbm7 at 8pt \font\fivemsb=msbm5 at 6pt
\newfam\msbfam
\textfont\msbfam=\tenmsb \scriptfont\msbfam=\sevenmsb
\scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb
\def\Bbb#1{{\tenmsb\fam\msbfam#1}}
\def\RR{\Bbb R}
\def\CC{\Bbb C}
\def\BB{\Bbb B}
\def\NN{\Bbb N}
\def\QQ{\Bbb Q}
\def\ZZ{\Bbb Z}
\def\PP{\Bbb P}
\def\EE{\Bbb E}
\def\KK{\Bbb K}
\def\TT{\Bbb T}
\def\GG{\Bbb G}
\def\SS{\Bbb S}
%
%
%       Lettres Bold Roman
%
\font\elevencmb=cmb10 at 11pt \font\eightcmb=cmb10 at 8pt
\font\sixcmb=cmb10 at 6pt
\newfam\cmbfam
\textfont\cmbfam=\elevencmb \scriptfont\cmbfam=\eightcmb
\scriptscriptfont\cmbfam=\sixcmb
\def\brom#1{{\elevencmb\fam\cmbfam#1}}
%
%
% _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
%
%       2) Lettres gothiques:

\font\teneuf=eufm10 at 12pt \font\seveneuf=eufm7 at 8pt
\font\fiveeuf=eufm5 at 6pt
\newfam\euffam
\textfont\euffam=\teneuf \scriptfont\euffam=\seveneuf
\scriptscriptfont\euffam=\fiveeuf
\def\goth#1{{\teneuf\fam\euffam#1}}
%
\newfont{\secgoth}{eufm10 at 16pt}
% _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _  _ _
%
%     3) Lettres rondes (script):

\font\tenrsf=rsfs10 at 11 pt \font\sevenrsf=rsfs7 at 8 pt
\font\fiversf=rsfs5 at 6pt
\newfam\rsffam
\textfont\rsffam=\tenrsf \scriptfont\rsffam=\sevenrsf
\scriptscriptfont\rsffam=\fiversf
\def\rond#1{{\tenrsf\fam\rsffam#1}}
%
\def\ical#1{\!\scriptscriptstyle \cal#1}
\def\irond#1{\!\scriptscriptstyle \rond#1}
% _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
%    5) "Signes etranges mais bien utiles"; voir le tableau de iftimo:
%
\font\tenmsa=msam10 at 11pt \font\sevenmsa=msam8
\font\fivemsa=msam6
\newfam\msafam
\textfont\msafam=\tenmsa \scriptfont\msafam=\sevenmsa
\scriptscriptfont\msafam=\fivemsa
\def\extra#1{{\tenmsa\fam\msafam#1}}

\def\di{\displaystyle}
\def\dd{\mbox{d}}

\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
\begin{document}
\pagestyle{fancy} \lhead{{\bf Mathématiques}\\ {Corrigé du QCM N°12}}

\rhead{{\small S4 15/16}\\ {\sc Epita}}



\begin{center}
{\Huge {\bf {Corrigé du QCM N°12}}} \\
\bigskip  \large{lundi 15 février 2016}
\end{center}



$I$ désigne un intervalle de $\RR$. Toutes les fonctions sont, sauf indication contraire, définies sur $I$.

\medskip

\section*{Question 11}
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions dérivables sur $[a,b]$, convergeant simplement vers $f$ sur $[a,b]$ où $(a,b) \in \RR^2$ avec $a < b$. Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $f$ est continue sur $[a,b]$

  \medskip
  \item [b.] $\di \int_ a^b f_n(t)\dd t \xrightarrow[n \to +\infty]{} \di \int_a^b f(t)\dd t$

  \medskip
  \item [c.] pour tout $x \in [a,b]$, $f'_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f'(x)$

  \medskip
  \item [\pscirclebox{d.}] rien de ce qui précède
\end{enumerate}





\section*{Question 12}
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$
par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+nx}\cdot$ Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  $]0,1]$
  \medskip
  \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$
  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$
  \medskip
  \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac1x$ sur $]0,1]$
  \medskip
  \item [e.] rien de ce qui précède
\end{enumerate}




\section*{Question 13}
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \,]0,1]$
par $f_n(x)=\di \frac{ne^x}{e^x+x}\cdot$ Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  $]0,1]$
  \medskip
  \item [b.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto 1$ sur $]0,1]$
  \medskip
  \item [c.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto \di \frac{e^x}{x}$ sur $]0,1]$
  \medskip
  \item [d.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction $f : x \mapsto e^x$ sur $]0,1]$
  \medskip
  \item [\pscirclebox{e.}] rien de ce qui précède
\end{enumerate}




\section*{Question 14}
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie pour tout $x \in \RR$ par $f_n(x)=x^n$. Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  $[0,1]$.
  \medskip
  \item [\pscirclebox{b.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  $[0,1[$.
  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  $]0,1[$.
  \medskip
  \item [\pscirclebox{d.}] $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur
  $[0,a]$ où $a \in \, ]0,1[$
  \medskip
  \item [e.] rien de ce qui précède
\end{enumerate}






\section*{Question 15}
Soit $A=[0,1[$. Alors $\text{Sup}(A)=1$.

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [\pscirclebox{a.}] vrai
  \item [b.] faux
\end{enumerate}



\section*{Question 16}
Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sev de $E$. Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $E=F \oplus F^{\bot}$

  \medskip
  \item [b.] $F=F^{\bot\bot}$

  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] rien de ce qui précède
\end{enumerate}



\section*{Question 17}
Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $(e_1,...,e_n)$ une base
orthonormée quelconque de $E$ et $x \in E$ quelconque. Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $x=\di \sum_{i=1}^n (<x,e_i>)^2 e_i$
  \medskip
  \item [b.] $x=\di \sum_{i=1}^n (<x-e_i,e_i>)^2 e_i$
  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] $x=\di \sum_{i=1}^n <x,e_i> e_i$
  \medskip
  \item [d.] $x=\di \sum_{i=1}^n <x-e_i,e_i>e_i$
  \medskip
  \item [e.] rien de ce qui précède
\end{enumerate}


\section*{Question 18}
Soient $(E,<,>)$ un espace euclidien, $B=(e_1,\cdots,e_n)$ une base orthogonale de $E$, $x=\di \sum_{i=1}^{n} \lambda _ie_i \in E$ où les $\lambda _i$ sont des scalaires. Alors pour tout $j \in \{1,\cdots,n\}$, on a

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $<x,e_j>=\lambda _j$

  \medskip
  \item [b.] $<x,e_j>=0$

  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] $<x,e_j>=\lambda _j <e_j,e_j>$

  \medskip
  \item [d.] rien de ce qui précède
\end{enumerate}



\section*{Question 19}
Soient $(E,<,>)$ un espace préhilbertien réel et $A$ une partie quelconque de $E$.
Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [a.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in E, \ <x,y>=0\}$
  \medskip
  \item [b.] $A^{\bot}=\{x \in A,\ \forall y \in A, \ <x,y>=0\}$
  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] $A^{\bot}=\{x \in E,\ \forall y \in A, \ <x,y>=0\}$
  \medskip
  \item [d.] $A \subset A^{\bot}$
  \medskip
  \item [e.] rien de ce qui précède
\end{enumerate}



\section*{Question 20}
Soient $E$ un $\RR$-ev, $\varphi$ une forme bilinéaire symétrique et positive sur $E$, $(x,y) \in E^2$ et $t \in \RR$. Alors

\medskip
\begin{enumerate}
  \item [\pscirclebox{a.}] $\varphi(x+ty,x+ty) \in \RR_+$

  \medskip
  \item [\pscirclebox{b.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+2\varphi(x,y)t+\varphi(x,x)$

  \medskip
  \item [\pscirclebox{c.}] $\varphi(x+ty,x+ty)=\varphi(y,y)t^2+\varphi(x,y)t+\varphi(y,x)t +\varphi(x,x)$

  \medskip
  \item [d.] rien de ce qui précède
\end{enumerate}


\end{document}
